Небольшие заметки о Linux: Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод из десятичной системы в любую другую. Перевод целых чисел

Целое десятичное число нужно поделить на основание новой системы счисления. Остаток от этого деления является самым младшим разрядом в новой записи числа. Результат деления вновь делится на основание. Остаток от этого деления будет следующим разрядом в новой записи числа, результат деления вновь делится на основание и т.д. до тех пор, пока в результате деления получится число, меньшее по величине, чем основание новой системы. Остаток этого последнего деления будет предпоследним разрядом в новой записи числа, а результат этого последнего деления - самым старшим разрядом в новой записи числа.

Проверка перевода осуществляется по формуле (11.2), так, как это показано ниже на примерах.

Пример. Перевести десятичное число 125 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Проверить результаты по формуле (П11.2).

$\arraycolsep=0.05em \begin{array}{l@{\,}rl@{\,}rl@{\,}rl@{\,}rl@{\,}rl@{\,}rl@{\,}rl} &_{-}125 &\|2 &&&&&\\ \cline{3-4} &124 &&_{-}62 &\|2\\ \cline{2-2}\cline{5-6} &1 & &62 &&_{-}31 &\|2\\ \cline{4-4}\cline{7-8} &&&0 & &30 &&_{-}15 &\|2\\ \cline{6-6}\cline{9-10} & && &&1 &&14 &&_{-}7 &\|2\\ \cline{8-8}\cline{11-12} &&&&&&&1&&6 &&_{-}3 &\|2\\ \cline{10-10}\cline{13-14} &&&&&&&&&1 &&2&&1\\ \cline{12-12} &&&&&&&&&&&1\\ \end{array} \\ 125_{10} = 1111101_2$	$\arraycolsep=0.05em \begin{array}{rrrrrrrr} _{-}&1&2&5&\|8\\ \cline{5-6} & &8& &_{-}&15&\|8\\ \cline{2-3}\cline{7-7} &_{-}&4&5& & 8& 1\\ \cline{6-6} & &4&0& & 7\\ \cline{3-4} & & &5 \end{array} \\ 125_{10}=175_8$	$\arraycolsep=0.05em \begin{array}{rrr} _{-} & 125 & \|16\\ \cline{3-3} & 112 & 7\\ \cline{2-2} & 13\\ \end{array} \\ 125_{10} = 7D_{16}$
a)	б)	в)

Проверка:

в двоичном коде: $1111101_{2}= 1+4+8+16+32+64=125$ ;
в восьмеричном коде $175_{8} = 1\cdot 8^{2 }+ 7\cdot 8^{1} + 5\cdot 8^{0} = 64+56+5=125$ ;
в шестнадцатеричном коде - $125 = 7D_{16} = =7\cdot 16^{1} + 13\cdot 16^{0} = 112 + 13 = 125$ .

В рассмотренном примере при переводе вместо коэффициента

используется его десятичный эквивалент

в соответствии с таблицей 11.2.

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную (восьмеричную)

Как уже было сказано выше, шестнадцатеричный и восьмеричный коды используются для более компактной и удобной записи двоичных чисел. Так, программирование в машинных кодах осуществляется в большинстве случаев в шестнадцатеричном коде. Правила перевода для шестнадцатеричной и восьмеричной системы структурно одинаковы, отличия для восьмеричной системы отображаются в скобках.

Двоичная запись числа делится на группы по четыре ( три ) двоичных знака влево и вправо от запятой, отделяющей целые и дробные части Неполные крайние группы (если они есть) дополняются нулями до четырех ( трех ) знаков. Каждая группа заменяется одним шестнадцатеричным ( восьмеричным ) знаком в соответствии с кодом группы

Таблица 11.2. Соответствие двоичных групп, шестнадцатеричных и восьмеричных знаков

Двоичная группа	Шестнадцатеричный знак	Десятичный эквивалент	Двоичная группа	Восьмеричный знак
0000	0	0	000	0
0001	1	1	001	1
0010	2	2	010	2
0011	3	3	011	3
0100	4	4	100	4
0101	5	5	101	5
0110	6	6	110	6
0111	7	7	111	7
1000	8	8
1001	9	9
1010	A	10
1011	B	11
1100	C	12
1101	D	13
1110	E	14
1111	F	15

Примеры:

перевод в шестнадцатеричную систему:
$11110000001010,0101111_{2}=\fbox{0011} \fbox{1100} \fbox{0000} \fbox{1010} , \fbox{0101} \fbox{1110} = 3С0А, 5Е_{16};$
перевод в восьмеричную систему:
$1100000110,10111_{2}=\fbox{001} \fbox{100 }\fbox{000}\fbox{ 110 }, \fbox{101 }\fbox{110 }= 1406, 56_{8}.$

Перевод из шестнадцатеричной (восьмеричной) системы в двоичную

Обычно программы в машинных кодах записаны в шестнадцатеричной системе счисления, реже - в восьмеричной. При необходимости отдельные числа такой программы записываются в двоичном коде, например, при рассмотрении форматов регистров, кодов операции команд и т.п. В этом случае нужен обратный перевод из шестнадцатеричной (восьмеричной) системы счисления в двоичную по следующему правилу.

Каждая цифра (без всяких сокращений!) шестнадцатеричного ( восьмеричного ) числа заменяется одной двоичной группой из четырех ( трех ) двоичных знаков (табл. 11.2).

Примеры:

для шестнадцатеричного числа: $127, В6_{16 }= 000100100111,10110110_{2} = 100100111,1011011_{2}$ ;
для восьмеричного числа: $147,554_{8} = 001100111,101101100_{2 }= 1100111,1011011_{2}$ .